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数学史上的第四次危机
第四次数学危机准确来说是数论，主要是说数论的研究对象不仅仅是数。假如有一门学科分别研究：人、树、花，那么这门学科叫花学，相应理论称为花论，实际上这并不合理，主要讨论的还是第三次数学危机，有关集合论的相关问题。
集合的类名用集合中的元素命名实际上并不十分合理，虽然强行命名没有太大的关系，但是有些地方还是比较奇怪。
无限循环小数悖论
无限循环小数是小学数学中的一些知识，在很多时候会出现除不尽的情况，比如
1&pide;9 = 0.111111…(数字1无限循环)
1&pide;3 = 0.333333…(数字3无限循环)
1&pide;1.3 = 0.769230769230769230…(数字串769230无限循环)
无限循环小数具有特殊的性质：
(1)它的循环体至少有一位数字;
(2)它没有最后一位，永远写不到头。
无限循环小数0.999…更是奇怪。现有的数学体系既能证明它等于1，又能证明它不等于1。
我们首先证明无限循环小数0.999…等于1。
数学课本上写着：无限循环小数可以转化为分数
0.111… = 1/9 (1)
两边同时乘以9，得
0.999… = 9/9 (2)
故有
0.999… = 1 (3)
证毕。
现在，我们再证明无限循环小数 0.999… 不等于1。
设 n 是无限循环小数0.999…中9的个数，根据数学归纳法
n = 1时，0.9 ≠ 1成立;
n = 2时，0.99 ≠ 1成立;
n = 3时，0.999 ≠ 1成立;
……
n = ∞时，0.999… ≠ 1成立;
于是
0.999… ≠ 1 (4)
证毕。
这两种办法都是现在数学中比较严谨的证明方法，但是得出的结论却截然不同，互相矛盾，这一悖论被称为“无限循环小数悖论”。这一悖论的出现严重影响了当代数学，并且带来了比较严重的危机，甚至给摧毁当代数学体系。
结语：在人类数学的发展中，一共出现了三次比较严重的危机，每一次都为数学带来了更多的发展，可以预见经过这次悖论，数学将更加发展进步。
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